Опубликовано

Все про алгебру

2.1. Булевы функции

Аппарат логики Буля, или иначе алгебры логики, оперирует с логическими переменными, которые могут принимать только два значения: 0 и 1. Логические переменные определяют некую логическую зависимость, которую принято называть булевой функцией. Множество всех булевых функций и операций над ними образует булеву алгебру или алгебру логики. Булевы функции, или иначе функции алгебры логики (ФАЛ), могут принимать тоже только два взаимно исключающих значения 0 и 1. При формальном рассмотрении законов булевой алгебры логические переменные обычно обозначают строчными буквами латинского алфавита или присваивают им идентификаторы.

Логические величины 0 и 1 нельзя трактовать как числа, над ними нельзя производить арифметические действия, поскольку алгебра логики – это не алгебра чисел, а алгебра состояний. Тем не менее в булевой алгебре производятся логические действия над переменными, которые и определяют характер логических функций. Основные логические действия соответствуют простейшим операциям над множествами: инверсия, или отрицание, дизъюнкция, или логическое сложение, и конъюнкция, или логическое умножение. На основании этих трех логических действий строятся все сколь угодно сложные логические функции. При этом следует особо выделить функции одной и двух переменных, которые играют в алгебре Буля весьма важную роль. При помощи этих функций, используя принцип суперпозиции, можно описать любую логическую функцию любой сложности любого числа переменных.

Принцип суперпозиции заключается в том, что каждый аргумент логической функции может являться функцией других логических переменных, а именно: если есть функция f{x1;x2;x3}, то возможно, что x1 =  (x4,x5).

Булевых функций одной переменной всего четыре.

  1. Нулевая (const”0”) Ф = Х =0 – значение функции равно нулю, каким бы ни было значение входной переменной.

  2. Инверсия (не) Ф =– значение функции инверсно значению входной переменной.

  3. Повторение (да) Ф = Х – значение функции повторяет значение входной переменной.

  4. Единичная (const”1”) Ф = Х = 1 – значение функции равно единице при любом значении входной переменной.

Из всех функций двух переменных десять являются самостоятельными и зависят как от переменной а, так и от переменной b. Притом функции Y5 ,Y6 отличаются от соответствующих им Y7 ,Y8 лишь порядком расположения аргументов. Таким образом, лишь восемь из 16-ти булевых функций двух переменных являются оригинальными.

1. Y1 = a  b–конъюнкция, логическое «и»;

2. Y2 = a  b –дизъюнкция, логическое «или»;

3. Y3 = a / b –штрих Шеффера, логическое «и-не»;

4. Y4 = a  b –стрелка Пирса (функция Вебба), «или — не»;

5. Y5 = a b –запрет b, «а, но не b» ;

6. Y6 = a b –импликация b, «если а, то b» ;

7. Y7 = b a –запрет а, «b, но не а» ;

8. Y8 = b a –импликация а, «если b, то а» ;

9. Y9 = a  b –эквивалентность,

равнозначность;

10. Y10 = a  b –неравнозначность,

«сумма по модулю 2».

2.2. Постулаты и основные законы булевой алгебры

Алгебра Буля, как любая математическая наука, базируется на нескольких аксиомах, или постулатах.

  1. Если x ≠ 1, то = 0; если x ≠ 0, то = 1 (аксиома взаимоисключения).

  2. 0  0 = 0; 0  0 = 0.

  3. 0  1 = 0; 0  1 = 1; (1  0 = 0; 1  0 = 1).

  4. 1  1 = 1; 1  1 = 1.

  5. ; (инверсии).

  6. ; (двойной инверсии).

В качестве основных законов алгебры Буля чаще других используют следующие (законы и теоремы приведены без доказательств).

1. Нулевого множества:0  a = 0; 0  a  b  …  x = 0;

0  a = a

2. Универсального множества: 1  a = a;

1  a = 1; 1  a  b  c … x = 1;

3. Идемпотентности (повторения): a  a  a  …  a = a;

a  a  a  … a = a;

4. Дополнительности (противоречия): a  = 0;a  = 1;

5. Двойной инверсии: =a ;

6. Коммутативности (переместительный): a  b = b  a;

a  b = b  a;

7. Ассоциативности (сочетательный): a  (b  c) = (a  b)  c;

a  (b  c) = (a  b)  c;

8. Дистрибутивности (распределительный): a  (b  c) = (a  b)  (a c);

a  (b  c) = (a  b)  (a c);

9. Поглощения: a  (a  b) = a;

a  (a  b) = a;

10. Склеивания: (a  b)  (a  ) = a ;

(a  b)  (a  ) = a ;

a  ( b) = a  b ;

a  ( b) = a  b ;

11. Инверсии (теорема де Моргáнa): ;

;

12. Теорема Шеннона: для того, чтобы получить инверсию некоторой ФАЛ, необходимо взять инверсии переменных и заменить операции дизъюнкции на конъюнкции и наоборот:

если существует Y = f (a,b,c,…,x, , ), то =f(,,…,,, )..

>

Национальная библиотека им. Н. Э. Баумана Bauman National Library

Происхождение

Булева алгебра названа по имени великого английского математика Джорджа Буля (1815—1864), который в 1854 г. опубликовал ставшую впоследствии знаменитой книгу «Исследование законов мышления». В начале гл. 1 он написал: «Назначение настоящего трактата — исследовать основные законы тех операций ума, посредством которых производится рассуждение; выразить их на символическом языке некоторого исчисления и на этой основе установить науку логики и построить ее метод; сделать этот метод основой общего применения математической доктрины вероятностей; и, наконец, собрать из различных элементов истины, выявленных в ходе этих изысканий, некоторые правдоподобные указания относительно природы и строения человеческого ума».

В этой книге Буль изложил большую часть новой алгебры, особенно пригодную для анализа классов и предложений (высказываний).

Другие математики и логики, в том числе Джон Венн и Эрнст Шрёдер, впоследствии значительно усовершенствовали и расширили алгебру Буля.

В 1938 г. Клод Э. Шеннон, в то время студент Массачусетсского технологического института, впоследствии известный математик и инженер Белловских телефонных лабораторий, а в настоящее время профессор Массачусетского технологического института, показал, что булеву алгебру можно прекрасно применять при синтезе переключательных электрических схем. Его статья «Символический анализ релейно-переключательных схем» представляет собой веху в развитии применений булевой алгебры.

Законы

1) Ассоциативный (сочетательный) закон

Ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции выражается следующими формулами:

На практике это означает, что можно опускать те скобки, которые определяют, в каком порядке должна выполняться конъюнкция и дизъюнкция.

2) Коммутативный (переместительный) закон<

Если операция коммутативна, то результат ее применения не зависит от того, какой из операндов был первым, а какой — вторым. Операнды коммутативных операций можно менять друг с другом местами, получая тождественный результат.

3) Дистибутивный (распределительный) закон

Свойство дистрибутивности одной операции относительно другой позволяет «раскрывать» скобки аналогично процедуре из элементарной алгебры. Конъюнкция и дизъюнкция дистрибутивны друг относительно друга, что выражается в следующих формулах:

4) Законы де Моргана (законы общей инверсии или дуальности)

Законы де Моргана позволяют применять отрицания к целой скобке, позволяя перейти к так называемым тесным отрицаниям, когда ни одно отрицание не стоит перед скобкой.

5) Закон поглощения (элиминации)

Если к выражению применяется с одним и тем же операндом сначала одна операция, а потом, с тем же самым операндом, поглощающая ее, то значение выражения поглощается, становясь равно операнду. Таким образом поглощающие друг друга пары операций можно «выкидывать» во время упрощения.

6) Закон склеивания (исключения)

7) Свойства единицы и нуля

Конъюнкция и дизъюнкция «по-особому» реагируют на единицу или ноль в качестве одного из операндов независимо от значения второго. Эти свойства похожи на знакомые из элементарной алгебры умножение на единицу, умножение на ноль, сложение с нулем:

A ʌ 0 = 0

A ʌ 1 = A

A v 0 = A

A v 1 = 1

8) Идемпотентность

Операция называется идемнотентной, если, применяя ее к двум равным операндам, получается тот же самый операнд. Идемпотентность позволяет «выкидывать» лишние повторные применения операции из формулы. Конъюнкция и дизъюнкция идемпотентны:

A ʌ A = A

A v A = A

9) Дополнение

Отрицание операнда называется его дополнением. Конъюнкция или дизъюнкция операнда со своим дополнением дает однозначные результат независимо от значения операнда:

А ʌ ¬А = 0

А v ¬А = 1

10) Двойное отрицание

Двойное отрицание компенсирует само себя. Таким образом в форме с тесными отрицаниями у каждой переменной в выражении либо не стоит ни одного отрицания, либо только одно.

¬¬А=А

Прохождение

Первый урок

В течении первого урока Вам необходимо дать не менее 70% верных ответов. Времени на это предложено в размере 1-ой минуты и 30-ти секунд. По успешному завершению задания вы получите Маску Гения.

Второй урок

Приступим ко второму уроку. Ответов надо дать больше, а времени, как ни странно, меньше. Теперь за одну минуту и двадцать секунд вам необходимо дать не менее 75% правильных ответов. В подарок вы получите символическую футболку с надписью «Я люблю математику».

Третий урок

Перевели дыхание? Приступим к третьему уроку. Ответов нужно дать все больше, времени для этого все меньше. На этот раз вам дается 1 минута и 10 секунд, а для успешного завершения нужно набрать 80% правильных ответов и выше. В подарок вы получаете еще одну футболку.

Четвертый урок

Больше половины пути позади. В четвертом уроке времени на ответы дается столько же, как и в прошлом – 1 минута и 10 секунд, но планка верных ответов прыгнула вверх с 80% до 85%. По завершению обновите свой гардероб еще на одну кофту.

Пятый урок

Ну вот и все. Ни шагу назад, остался последний рубеж – пятый урок. Времени стало чуть больше, а именно 1 минута и 20 секунд, однако правильных ответов на этот раз нужно дать не меньше 90%. Как только отстреляетесь, получите в качестве трофея математические счеты, которые будут у вас в комнате и в довесок полный костюм Ботана.

Не очень-то нас и порадовали призы за выполненные уроки, однако их невыполнение не даст 100%-ное прохождение всей игры.

>Биография Джорджа Буля

Джордж Буль известен как автор символической логики. Он считается одним из основателей информатики.

Карьера

Буль работал помощником учителя в Донкастере, а также недолгое время преподавал в Ливерпуле. Некоторое время он был связан с открывшимся в 1833 году институтом механики Линкольна. А в 1834 году он открыл свою школу в Линкольне.

В течение этого времени он много времени уделял социальной работе и образованию взрослых. Он основал «Приют раскаявшихся женщин», целью которого была реабилитация проституток. С целью образования неимущих, Буль также работал в институте механики. Через четыре года Буль стал владельцем «Hall’s Academy» в Уоддингтоне, под Линкольном. В 1839 году он представил несколько работ, среди которых были «Теория математических преобразований» для «Кембриджского математического журнала».

В этих работах речь шла о дифференциальных уравнениях и алгебраической проблеме линейной трансформации путём выделения идеи инвариантной линейной трансформации через выделение идеи инвариантности.

В 1840 году он вернулся в Линкольн для руководства закрытой школой.

В 1841 году он открыл теорию инвариантов – новый раздел математики. Этот раздел математики впоследствии был источником вдохновения Эйнштейна.

В 1844 году он анализировал комбинированные методы алгебры и исчислений в публикации с названием «Философские труды королевского общества».

В 1847 году, совместно с Э. Р. Ларкеном, он основал жилищно-строительное общество. В том же году в памфлете «Математический анализ логики» он высказал мнение, что логика должна быть связана с математикой.

Инновационный вклад Буля в математику был по-настоящему эффективен при создании цифрового компьютера и электронных схем.

В 1849 году он стал первым профессором математики в Королевском колледже в Корке, Ирландия.

В 1854 году он занимался алгеброй и логикой, и его труды в этой области более известны как булева алгебра (алгебра логики). В том же году он ввёл понятие символический метод логического вывода в публикации «Законы мысли».

Булева алгебра служит в качестве основ анализа обоснованности логических суждений, так как она носит бинарный характер утверждений, которые могут оказаться либо положительными, либо ложными.

Метод бинарности и логические элементы булевой логики используются в телефонной коммутации и в электронных компьютерах во время их создания и работы.

Во второй части «Закона мысли» Буль пытался открыть общий метод в вычислении вероятностей.

В 1857 году Буль представил публикацию «О сравнении трансцендентных функций» с определёнными наложениями на теорию определённых интегралов. В публикации он изучает сумму остатков рациональной функции. А частью изучения стало доказательство булева тождества.

В 1859 году Буль публикует «Трактат по дифференциальным уравнениям», в котором он сообщает об общем символическом методе; в 1860 году он публикует продолжение с названием «Трактат об исчислении конечных разностей».

Буль внёс вклад в такие науки как: электроника, математика, теория информации, логика, кибернетика и информатика.

Булева алгебра. Часть 1. Немного истории

В школе все мы изучали алгебру, только про булеву алгебру там не говорили. Чем отличается булева алгебра от школьной, история ее появления, задачи и области применения описаны в данной статье.

Схема, позволяющая двумя выключателями лампочку в коридоре включить при входе в коридор и выключить, войдя в комнату известна очень давно (cм. Коридорная схема управления освещением). Она показана на рисунке 1.

Задача №1. Более сложная. Составить схему, позволяющую включать и выключать свет в вашей комнате любым из 3 различных выключателей. Выключатели расположены у входа в комнату, над постелью и у письменного стола.

Задача № 2.

В спортивном комитете, например заводском, собралось 5 судей.

Каждый из них должен голосовать за принятие различных решений. Решение принимается большинством голосов, но только при том дополнительном условии, что за него голосует председатель комитета.

Судьи голосуют путем нажатия кнопки, замыкающей переключатель, расположенный под столом, за которым они сидят. Замыкая переключатель, они голосуют «за», размыкая «против». Начертите простейшую схему, позволяющую автоматически видеть результаты голосования. В простейшем случае просто с помощью лампочки, — зажглась – решение принято, не зажглась,- нет.

Задача №3. Практически такое маловероятно, но в качестве сложной учебной задачи вполне подойдет.

В большой шестиугольной комнате на каждой стене установлено по одному переключателю. Постройте такую схему, чтобы в любой момент можно было включать или выключать свет в комнате поворотом одного (любого) переключателя.

После того, как вы безрезультатно просидите над задачами три-четыре дня, отложите их временно в сторону. И займитесь алгеброй Буля. Именно алгебра Буля, или, как ее еще называют, булева алгебра, алгебра релейных схем, поможет вам решить составленные задачи.

Что же такое алгебра Буля?

Как ни странно, несмотря на то, что пять лет в школе изучают алгебру, многие ученики, а впоследствии и взрослые, не смогут ответить на вопрос, а что такое алгебра? Алгебра — это наука, которая изучает множества некоторых элементов и действия над ними.

В школьном курсе алгебры такими элементами являются числа. Числа можно обозначать не цифрами, а буквами, с этим все знакомы. На первых уроках алгебры это всегда затрудняет многих учеников. Вспомните, как трудно было вначале привыкнуть вместо цифр складывать буквы, решая ничего не говорящие уравнения.

Наверное, каждый из нас тогда задавал себе вопрос: «Для чего нужно вводить буквы вместо цифр и, нужно ли это вообще?». И только позднее вы убедились, какие преимущества при решении задач дает алгебра в сравнении с арифметикой.

Алгебра применяется во многих точных науках. Это физика, механика, сопромат, электричество. Закон Ома есть не что иное, как алгебраическое уравнение: достаточно вместо букв подставить их числовые значения, чтобы узнать какой ток будет протекать в нагрузке, или какое сопротивление имеет участок цепи.

Так вы познакомились с алгеброй чисел, или с элементарной алгеброй. Основная и почти единственная задача — получить ответ на вопрос: «Чему равняется X? Сколько?»

В старших классах школы изучают начала векторной алгебры. Эта алгебра принципиально отличается от элементарной алгебры. В ней совершено другая природа изучаемого множества и другие правила действий. Решая векторное уравнение, получаем в ответе вектор, который не является обычным числом, отвечающим на вопрос «Сколько?»

Формулы векторной алгебры во многом отличны от формул элементарной алгебры. Например, и в элементарной алгебре и в векторной имеется операция сложения. Но выполняется она совершенно по-разному. Сложение чисел выполняется совсем не так, как сложение векторов.

Существуют и другие алгебры: линейная алгебра, алгебра структур, алгебра колец, алгебра логики, или, что то же самое, алгебра Буля. На школьных уроках вы, наверное, не слышали имени Джорджа Буля — зато всем известно имя одной из его талантливых дочерей Этель Войнич (1864 – 1960). Она написала роман «Овод», где рассказывается о борьбе за свои права итальянских карбонариев.

Джордж Буль родился в Англии 2 ноября 1815 года. Всю свою жизнь он работал учителем математики и физики в школе. Из воспоминаний его учеников известно, какое огромное значение придавал Буль развитию творческих способностей учащихся. При изложении нового материала он стремился к тому, чтобы его ученики сами заново «открывали» некоторые формулы и законы.

Рассказывая ученикам о трудностях, с которыми ученые неизбежно сталкивались в поиске истины, учитель любил повторять одну восточную мудрость: даже персидский трон не может принести человеку столько наслаждений, как самое маленькое научное открытие. Буль никогда не терял надежды, что когда-нибудь и его ученики сделают настоящее открытие.

Диапазон научных интересов Буля был очень широк: в равной степени его интересовали математика и логика — наука о законах и формах мышления. В те времена логика считалась гуманитарной наукой, и многих, кто знал Джорджа Буля, удивляло, как в одном человеке могли уживаться точные методы познания, присущие математике, и чисто описательные методы логики.

Но ученому захотелось сделать науку о законах и формах мышления такой же строгой, как и любая из естественных наук, скажем математика и физика. Для этого Буль стал обозначать буквами не числа, как это делается в обычной алгебре, а высказывания и показал, что такими уравнениями, очень схожими с алгебраическими, можно решать вопросы об истинности и ложности высказываний, сделанных человеком. Так возникла алгебра Буля.

Но еще задолго до Джорджа Буля немецкий математик и философ Готфрид Лейбниц (1646—1716) впервые высказал идею о создании науки, которая обозначит все понятия обычной разговорной речи символами и установит некоторую новую алгебру для соединения этих символов.

После создания такой науки, по мнению Лейбница, ученые и философы перестанут спорить и перекрикивать друг друга, выясняя истину, а возьмут в руки карандаш и спокойно скажут: «Давайте-ка вычислять!»

В наши дни алгебра логики стала важнейшей составной частью математики. Одна из ее задач — это решение всевозможных уравнений, числовые соотношения в которых заменены буквенными. Каждый из вас, наверное, на всю свою жизнь запомнил, как решать уравнения второй и третьей степени с буквенными коэффициентами. Так вот, Буль в своей новой алгебре воспользовался всеми этими формулами и правилами.

Новым в алгебре Буля является то, что элементы множества, которые в ней изучаются, являются не числами, а высказываниями. Если при решении обычных алгебраических уравнений определяется, какому числу равняется неизвестное X, школьная алгебра ищет ответ на вопрос: «Сколько?»

Алгебра логики ищет ответ на вопрос: «Верно ли то или другое высказывание, обозначенное буквой X?»

Смысл и содержание высказывания здесь не играют никакой роли. Каждое высказывание может быть только или истинным, или ложным. Оно не может быть наполовину истинным и наполовину ложным. В качестве примера можно вспомнить метание жребия при помощи монеты.

Там рассматриваются только два состояния монеты — орел или решка. По договоренности сторон орел это ДА, а решка это НЕТ. Никакие другие промежуточные положения в теории вероятностей не учитываются, хотя они и возможны. Подброшенная монета может упасть на ребро, докатиться по полу до ножки стула или стола и так и остаться в вертикальном положении, а то и вообще провалиться в широкую щель в полу. (По аналогии с электрическими схемами две последних ситуации можно рассматривать как неисправность в виде обгоревшего контакта). Но в те далекие времена булева алгебра, увы, широкого распространения не получила.

Вновь «открыл» алгебру Буля Клод Шеннон. В 1938 году, будучи еще студентом Массачусетского технологического института и Америке, молодой Клод доказал, что алгебра Буля полностью подходит для анализа и синтеза релейных и переключательных схем.

С помощью алгебры Буля можно очень просто составить электрическую схему автомата, работающего на реле. Для этого, оказывается, нужно только точно знать, что должен делать автомат, то есть нужно иметь алгоритм его работы. Так была заложена основа теории цифровых машин, действующих по принципу ДА или НЕТ.

Такова вкратце история булевой алгебры. В следующих статьях мы рассмотрим ее основные законы, примеры контактных схем реализующие эти законы. Рассмотрим решение тех задач, которые были приведены в начале статьи.

Продолжение статьи: Булева алгебра. Часть 2. Основные законы и функции

Борис Аладышкин

Основы Булевой алгебры

Булева алгебра была впервые описана английским математиком Чарльзом Людвигом Доджосоном, более известным под псевдонимом Льюис Кэрролл, а в 1854 году шотландский математик Джордж Буль ввел двузначную алгебраическую систему, называемую теперь булевой алгеброй. Правда, первоначально аппарат алгебры разрабатывался как средство разбора, подтверждения или, наоборот, отклонения сложных философских высказываний и лишь в 1938 году американский инженер Клод Элвуд Шеннон показал, как приспособить булеву алгебру для описания поведения и анализа схем, составленных из электромеханических реле, которые в то время были самыми распространенными логическими элементами.

Электромеханическое (электромагнитное) или просто реле при всей его громоздкости и черепашьей скорости переключений обладает несомненными достоинствами, которые заставляют и в настоящее время их производить и использовать. Первое достоинство – гальваническая развязка между цепью управления (обмоткой) реле и его контактами. Второе достоинство, имеющее отношение к алгебре логики, двоичное состояние контактов — замкнутое или разомкнутое (конечно при условии, что механика реле исправна, а сами контакты не окислены и не разболтаны).

В алгебре Буля используют двоичную переменную X, удовлетворяющую аксиомам или постулатам, т.е. утверждениям, про которые мы предполагаем, что они справедливы, и из которых вытекают все другие свойства системы.

Аксиома 1. X 1, если X 0 и X = 0, если X 1. Другими словами — Да это Да, а Нет это Нет, контакты либо замкнуты, либо разомкнуты и т.д.).

Аксиома 2. Если Х = 0, то Не Х = 1, если Х = 1, то Не Х = 0

Другими словами – если некое реле имеет переключающую группу и в этой группе нормально разомкнутый контакт разомкнут, то в этот же момент времени нормально замкнутый контакт того же реле замкнут.

С учетом перечисленных аксиом рассмотрим три основные простейшие логические операции: дизъюнкцию, конъюнкцию и инверсию.

Операция дизъюнкции (с латинского- разобщение). Обозначается знаками «V» или «+».Другое название этого действия: ИЛИ (операция логического сложения). Для двух переменных Х1 и Х2 эта операция даёт результаты, представленные в табл. 1.1, получившей название таблицы истинности, где представлены все возможные сочетания

Таблица 1.1

Таблица истинности операции ИЛИ

Y

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Вывод: Переменная Y принимает единичное значение, если хотя бы одна из переменных равна единице.

Аналитическая запись: Правильная Х1 V Х2 = Y, допускаемая Х1 + Х2 = Y Читается: Игрек равен икс один или икс два.

Переменных в общем случае может быть n, то есть .

Значение истинно, если истинна хотя бы одна из переменных .

Условное обозначение ЛЭ ИЛИ – дизъюнктора

Американская

Схемная реализация логического элемента ИЛИ на контактах и реле

Операция конъюнкции (с лат. соединение). Другое название «И» (операция логического умножения). Записывается в виде: Правильно Λ или Y = X1 & X2, допускается Y = X1 × X2 или даже совсем без точки Y = X1X2

Читается: Игрек равен икс один И икс два.

Составим таблицу истинности (табл. 1.2) для операции конъюнкции двух переменных, в которой также перечислим все возможные сочетания значений Х1 и Х2.

Таблица 1.2

Таблица истинности операции И.

Y

0 · 0 = 0

0 · 1 = 0

1 · 0 = 0

1 · 1 = 1

Вывод: Переменная принимает единичное значение только в том случае, когда переменная так же как переменная принимает единичное значение.

Для n переменных:

Значение истинно, если истинны все переменные Хn.

Условное обозначение логического элемента И – конъюнктора

Американская

Схемная реализация логического элемента И на контактах и реле

Операция инверсии (НЕ) — операция логического отрицания

Записывается в виде

Читается: Игрек равен не икс

Так как операция выполняется над одной переменной , то число возможных значений равно 21 = 2, что и отражено в таблице истинности (табл. 1.3).

Таблица 1.3

Таблица истинности

операции инверсии

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *